Тезисы доклада

ПОЧТИ СТУПЕНЧАТОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В БАШЕННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

на 5-ой Международной конференции молодых учёных, посвященной памяти С.Н.Бернштейна (Санкт-Петербург, СПбГУ, февраль 1999 года, докладчик - Баранова Н.В., научный руководитель - Федотов В.П.)

Башенные системы счисления были введены моим научным руководителем В.П.Федотовым. В частности, в его докладе [1] на недавней конференции в РГПУ им. Герцена : 

1) построено башенное представление B(x) произвольного вещественного числа x ,

2) определена функция F(x) , с помощью которой удобно представлять свойства B(x) на графике

3) доказана монотонность этой функции F(x).

Целью моего доклада является демонстрация некоторых свойств функции F(x). Но сначала нужно дать основные определения.

Вслед за общеизвестными действиями над числами – сложением, умножением и возведением в степень, каждое из которых является итерацией предыдущего, четвертый член этой последовательности бинарных операций получил название башни. В отличие от традиционно рассматриваемых башен, в которых все показатели степени равны друг другу и положительны, В.П.Федотов ввел башни со знакопеременными ( но равными по абсолютной величине ) показателями. Именно знаки и играют роль цифр в представлении числа в башенной системе счисления.

Для нахождения этих цифр применяется обратная к возведению в степень операция – логарифмирование. Первый знак – это знак самого числа x. Затем, на каждом последующем шаге, если число не равно нулю, то его нужно заменить логарифмом ( по фиксированному основанию - основанию башни, обозначим его d ) от абсолютной величины числа. Каждый последующий знак – знак такого логарифма.

 Весьма серьезным неудобством представления числа в виде такой цепочки знаков является нарушение обычного порядка следования на числовой оси. Чтобы восстановить его, В.П.Федотов модифицирует знаки. Вместо плюса и минуса с этой целью используются латинские буквы P и N соответственно, причем буква выбирается в зависимости не только от самого знака, но и от четности числа предшествующих ему минусов. Наконец, кроме P и N, используется латинская буква O для указания на то, что само число или очередной его логарифм совпали с нулем.

Выбранные для модификации знаков латинские буквы непосредственно следуют друг за другом в латинском алфавите. Башенные представления чисел можно рассматривать как слова, составленные из этих трех букв, и сравнивать положение слов друг относительно друга в принятом в словарях лексикографическом порядке. Оказывается, что чем меньше x , тем раньше соответствующее слово стоит в словаре.

Найдем башенное представление в простейших случаях. Ясно, что всегда ( при любом d ) справедливы равенства O=B(0) ,  PO=B(1) и NO=B(-1) . Далее, имеем  PPO=B(d) , NNO=B(-d) ,  PNO=B(1/d) ,  NPO=B(-1/d) ,  PPPO=B(d^d), NNNO=B(-d^d), PNNO=B(1/d^d) , NPPO=B(-1/d^d) .

Легко видеть, что башенное представление далеко не всегда будет конечным  ( то есть, заканчивающимся буквой O ). Простейший пример :   x=3 при d=2 .

Заменим теперь в башенном представлении B(x) произвольного вещественного числа x все вхождения буквы N на цифру 0, а букв P и O на цифру 1, поставив в начале записи двоичную точку, а перед ней – 0 в целой части. Полученное число обозначим через P(x) и рассмотрим как функцию от x . Эта функция всюду монотонно возрастает и заключена между 0 и 1 , следовательно,  ее можно интерпретировать как распределение вероятности.

Так как P(0)=1/2 , то этот факт ( в полном соответствии со «здравым смыслом» )  означает, что произвольное вещественное число x  с вероятностью 50% отрицательно и с той же вероятностью положительно. Далее, всегда  P(1)=3/4 и P(-1)=1/4, P(x)®1 при x®µ и P(x)®0 при x®-µ.

В.П.Федотов предпочитает вместо P(x) рассматривать другую функцию F(x)=4P(x)-2 . Она более удобна для исследования, так как четна, монотонна, а уравнение F(x)=x при произвольном d имеет не менее 3 корней :  x=-1 , 0 и 1 , а при d=2 даже 7 корней :  x=-1 , -1/2 , -1/4 , 0 , 1/4 , 1/2 , 1 .

Мною были проведены вычисления значений названных выше функций при некоторых различных d . Если не удавалось найти точное значение, то приближенные вычисления проводились на микрокалькуляторе Casio и на компьютере с использованием электронных таблиц Excel97.

Прежде всего, приведем первичные значения, которые дают общее представление о поведении этих функций при некоторых наиболее естественных  основаниях d :

Совпадение некоторых значений в столбцах d=2  и d=4 является следствием равенства  2⁴=4² .  Эта таблица была рассчитана значительно более подробно :  для P(x) с интервалом 1/2¹⁰ , а также для всех целых значений d от 2 до 16 и для некоторых других серий значений d .

Последующие вычисления, особенно при сравнительно больших d , выявили несколько необычных свойств функций F(x) и P(x) . Хотя производные этих функций нигде не обращаются в ноль, значения функций на некоторых интервалах остаются почти постоянными.

 Можно сказать, что, если «смотреть издали» на графики этих функций, то они выглядят как ступенчатые, причем большие ступени чередуются с малыми. Однако, если «присмотреться повнимательнее», то есть увеличить масштаб изображения, то участки графика, казавшиеся прямолинейными, распадаются в серию невысоких ступеней, которые, в свою очередь, распадутся на еще более мелкие при очередном увеличении масштаба.

Также удается заметить, что наиболее протяженные почти горизонтальные участки графика F(x) сосредоточены вблизи значений этой функции, кратных дробям со знаменателем вида 3ⁿ  ( причем, чем меньше n , тем крупнее соответствующие ступени ).

Литература

1.  Федотов В.П.  Башенные системы счисления. – В сб. «Информационные технологии в образовании. К 80-летию РГПУ им. Герцена». СПб, 1998.